生活中的数学 | 01 信用卡的购汇还款策略

写在前面

这一系列 (如果能发展成一个系列的话) 将专注于记录笔者在日常生活中遇到的有趣问题, 以及如何用数学去解决它们, 也就是所谓的数学建模. 当然, 因为笔者的数学水平有限, 往往不会给出很好的结果, 请多多原谅.

信用卡的购汇还款策略 (TODO)

笔者作为一名光荣的自宅警备队成员, 经常会有海淘的需要. 在海淘时笔者会使用非常方便的双币种 Visa 信用卡来进行支付, 所有的外币都以美元进行结算, 而美元的汇率是一直在变动的, 因此就出现了这样一个问题:

笔者需要在信用卡的到期还款日之前, 购买美元并还款. 但美元的价格是每天都在变动的, 那么要采取什么样的购汇策略能使得自己的消费最少呢?

为了简化问题, 我们不妨假设笔者每次购汇都是为且仅为了当月的信用卡还款.

秘书问题

笔者联想到一个非常经典的数学问题: 秘书问题, 这一问题与我们的问题十分类似.

要聘请一名秘书, 有 $n$ 个应聘者.
每次面试一人, 面试后就要及时决定是否聘他, 如果当时决定不聘他, 他便不会回来.
面试后总能清楚了解应聘者的合适程度, 并能和之前的每个人做比较. 问什么样的策略, 才使最佳人选被选中的概率最大.

以上的描述采自维基百科. 笔者需要额外补充的一点是, 这里的候选人的优劣是有序的, 也就是说可以用一组一维向量来表示每个人.

最优策略

秘书问题的最优策略是, 面试官会拒绝前 $r-1$ 个候选人, 并录取第一个比前 $r-1$ 个候选人都更好的候选人. 对于每一个 $n$ 都有一个最佳的 $r$, 使得最佳人选被选中的概率最大.

TODO: 为什么这一策略是最佳?

当 $n \to \infty$ 时, 最优的 $r$ 满足 $\frac{r}{n} \to \mathrm{e}$, 其中 $\mathrm{e}$ 是自然常数.

其它策略

上面所提到的最优策略, 事实上只是使得录取到最优秀的候选人概率最大的策略. 很自然地, 我们想到是否有其它的策略, 能满足其它的目标, 比如使得录取到的候选人的期望最大.

TODO

信用卡问题

方便起见, 在本文中将笔者提出的这一问题称为信用卡问题^[1].

信用卡问题和秘书问题的区别

信用卡问题与秘书问题之间的区别可能会导致存在一种新的更好的策略, 因此是有必要研究的, 笔者尝试列举如下:

• 信用卡问题中可以分多次购汇, 而秘书问题中只有一次录取机会;
• 汇率作为一个随机变量, 它的分布与秘书的优劣是不同的;
• 汇率有过去的信息作为参考, 而秘书的优劣只能将前几个候选人作为参考.

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1. 1.这显然是个非常容易重名的名称, 但是笔者决定不去管它. ↩