Green 表示定理

本文旨在从散度定理出发, 推导 Green 恒等式, 并最终得到求解 Poisson 方程的核心工具—— Green 表示定理. 阅读本文只需要具备多元微积分的基础知识, 包括向量微积分、散度定理和偏微分方程的基本概念.

本文的主要内容参考自 Green’s Representation Theorem — The Bempp Book.

散度定理

散度定理是多元微积分中的一个基本结果, 它将向量场穿过一个封闭曲面的通量 (总流出量) 与其在曲面所包围体积内的散度 (源的净强度) 联系起来. 这个定理是后续所有推导的基石.

具体而言, 对于 $\mathbb{R}^d$ 空间中的一个光滑向量场 $\mathbf{F}$, 若 $\Omega$ 是一个有界开集, 其边界 $\Gamma = \partial \Omega$ 是一个光滑的封闭曲面, 并取 $\mathbf{n}$ 为指向外部的单位法向量, 则散度定理可表示为:

$$\int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S.$$

公式左侧是对体积 $\Omega$ 内所有点的散度求和, 右侧则是向量场 $\mathbf{F}$ 穿过边界 $\Gamma$ 的总净通量.

Green 恒等式

借助散度定理, 我们可以轻松推导出两个重要的 Green 恒等式.

Green 第一恒等式

我们从散度定理出发, 构造一个特殊的向量场. 令 $\mathbf{F} = u \nabla v$, 其中 $u$ 和 $v$ 是定义在 $\Omega$ 上的光滑标量场.

首先, 利用向量微积分的乘法法则, 计算 $\mathbf{F}$ 的散度:

$$\nabla \cdot (u \nabla v) = \nabla u \cdot \nabla v + u (\nabla \cdot \nabla v) = \nabla u \cdot \nabla v + u \Delta v,$$

这里 $\Delta = \nabla \cdot \nabla$ 是 Laplace 算子.

接着, 计算 $\mathbf{F}$ 在边界 $\Gamma$ 上沿法线方向的分量:

$$\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} = (u \nabla v) \cdot \mathbf{n} = u (\nabla v \cdot \mathbf{n}) = u \frac{\partial v}{\partial n},$$

其中 $\frac{\partial v}{\partial n}$ 是 $v$ 沿外法线方向 $\mathbf{n}$ 的方向导数.

将这两部分代入散度定理, 便得到 Green 第一恒等式:

$$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v + u \Delta v \, \mathrm{d}V = \oint_{\Gamma} u \frac{\partial v}{\partial n} \, \mathrm{d}S.$$

Green 第二恒等式

如果在第一恒等式中交换 $u$ 和 $v$ 的角色, 可得到一个类似的等式:

$$\int_{\Omega} \nabla v \cdot \nabla u + v \Delta u \, \mathrm{d}V = \oint_{\Gamma} v \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}S.$$

用 Green 第一恒等式减去这个新得到的式子, 其中 $\nabla u \cdot \nabla v$ 项相互抵消, 于是我们得到了对称性更强的 Green 第二恒等式:

$$\int_{\Omega} u \Delta v - v \Delta u \, \mathrm{d}V = \oint_{\Gamma} u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}S.$$

这个恒等式是推导 Green 表示定理的关键.

Green 表示定理

现在, 我们利用 Green 第二恒等式来求解偏微分方程. 考虑区域 $\Omega$ 内的 Poisson 方程:

$$-\Delta u = f \text{ in } \Omega.$$

其中 $u$ 是待求的解, $f$ 是给定的源项. 当 $f=0$ 时, 该方程即为 Laplace 方程.

为了求解, 我们引入一个辅助函数, 即 Laplace 算子的 Green 函数 $g(\mathbf{x}, \mathbf{y})$. 它被定义为在点 $\mathbf{x}$ 处单位点源所产生的“势”, 在数学上满足:

$$-\Delta_{\mathbf{y}} g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \delta(\mathbf{y} - \mathbf{x}).$$

这里的 $\Delta_{\mathbf{y}}$ 表示对变量 $\mathbf{y}$ 求 Laplace 算子, 而 $\delta$ 是狄拉克 delta 函数. 这个 Green 函数, 也称为基本解, 具有明确的解析形式:

$$g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \begin{cases} -\frac{1}{2\pi} \log |\mathbf{x} - \mathbf{y}|, & d = 2, \\ \frac{1}{(d-2)\omega_d |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^{d-2}}, & d \ge 3. \end{cases}$$

其中 $\omega_d$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中单位球面的表面积.

现在, 在 Green 第二恒等式中, 我们将标量场 $v$ 替换为 Green 函数 $g(\mathbf{x}, \mathbf{y})$. 注意积分变量是 $\mathbf{y}$, 而 $\mathbf{x}$ 是一个固定的点.

$$\int_{\Omega} u(\mathbf{y}) \Delta_{\mathbf{y}} g - g \Delta_{\mathbf{y}} u \, \mathrm{d}V(\mathbf{y}) = \oint_{\Gamma} u \frac{\partial g}{\partial n} - g \frac{\partial u}{\partial n} \, \mathrm{d}S(\mathbf{y}).$$

我们来处理左边的体积积分. 根据 Green 函数和 Poisson 方程的定义:

$$\begin{aligned} \Delta_{\mathbf{y}} g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) & = -\delta(\mathbf{y} - \mathbf{x}), \\ \Delta_{\mathbf{y}} u(\mathbf{y}) & = -f(\mathbf{y}), \end{aligned}$$

代入后, 体积积分变为:

$$\int_{\Omega} - u(\mathbf{y}) \delta(\mathbf{y} - \mathbf{x}) + g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) f(\mathbf{y}) \, \mathrm{d}V(\mathbf{y}) = -u(\mathbf{x}) + \int_{\Omega} g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) f(\mathbf{y}) \, \mathrm{d}V(\mathbf{y}),$$

这里我们利用了狄拉克 delta 函数的筛选性质 $\int_{\Omega} u(\mathbf{y}) \delta(\mathbf{y} - \mathbf{x}) \, \mathrm{d}V(\mathbf{y}) = u(\mathbf{x})$, 前提是 $\mathbf{x} \in \Omega$.

将此结果与边界积分项联立, 整理后, 便得到了最终的 Green 表示定理:

$$u(\mathbf{x}) = \int_{\Omega} g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) f(\mathbf{y}) \, \mathrm{d}V(\mathbf{y}) + \oint_{\Gamma} g(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \frac{\partial u (\mathbf{y})}{\partial \mathbf n_{\mathbf{y}}}- u(\mathbf{y}) \frac{\partial g(\mathbf{x}, \mathbf{y})}{\partial \mathbf n_{\mathbf{y}}} \, \mathrm{d}S(\mathbf{y}), \quad \mathbf{x} \in \Omega.$$

这个强大的定理表明, 区域 $\Omega$ 内任意一点 $\mathbf{x}$ 的解 $u(\mathbf{x})$ 完全由两部分决定:

1. 由源项 $f$ 决定的体积势.
2. 由边界上解的值 $u$ 和其法向导数 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf n}$ 决定的面积势.

如果点 $\mathbf{x}$ 在区域 $\Omega$ 的外部, 则 $\delta(\mathbf{y} - \mathbf{x})$ 在积分域内始终为零, 此时表示定理的左侧项为 0.