如何理解相机的等效焦距公式

常见的消费级相机按照感光元件（CMOS）的大小，可分为全画幅和 APS-C（半画幅）。其它的还有更大的中画幅、更小的 M4/3 等。

对于同一焦距的镜头，不同 CMOS 的相机所拍摄到的画面是不同的。这是因为 CMOS 的大小不同，导致了画面的裁切。

为了弥合不同传感器带来的画面差异，摄影界普遍采用“等效焦距”这一换算方法。例如，APS-C 相机在使用 50mm 镜头时，由于其裁切因子大约为 1.5，其成像效果相当于全画幅相机上的 75mm 镜头。

$$ \text{等效焦距} = 50\text{mm} \times 1.5 = 75\text{mm}. $$

然而，这个看似简单的换算公式是否真的严谨？其实，从物理光学的角度分析，镜头焦距与成像放大倍数之间的关系远比简单的常数倍关系更为复杂。

验证

我们可以考虑最简单的情形：凸透镜成像。我们有物体 $O$, 使用两台相机（两片凸透镜）分别对其成像，且成像在同一平面上。因此对两个相机系统有物距 + 像距相等：

$$ d_I + d_O = d_I^\prime + d_O^\prime. $$

两台相机的焦距都可以用成像公式得到：

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_I} + \frac{1}{d_O}. $$

记物体高为 $h_O$, 那么所成像的大小为：

$$ h_I = \frac{d_I}{d_O} h_O. $$

我们假设第二台相机的 CMOS 是被裁切过的（当然也可以是更大），其尺寸是第一台相机 CMOS 的 $k$ 倍，假设我们希望所成像的大小是第一台相机的 $k$ 倍：

$$ h_I^\prime = k h_I, $$

也就是

$$ \frac{d_I^\prime}{d_O^\prime} = k \frac{d_I}{d_O} $$

由此我们可立即解出 $d_I^\prime, d_O^\prime$, 进而得到第二台相机的焦距为：

$$ f^\prime = k \frac{d_I d_O (d_I + d_O)}{(k d_I + d_O)^2} = k f \frac{(1 + \frac{d_O}{d_I})^2}{(k + \frac{d_O}{d_I})^2} \approx k f. $$

可以看到，只有在 $\frac{d_O}{d_I}$ 较大时，$f^\prime$ 才会近似于 $kf$, 等效焦距公式才近似成立。

不过，实际上 $d_O$ 往往是远大于 $d_I$ 的，只有在微距摄影的情况下，这一公式才有相对较大的误差（但仍然很小）。可以说这一经验公式完全可以用于大部分情况了。